FUNCIÓN LINEAL
LEYDI
JOHANA ARCINIEGAS GUARIN
UNIVERSIDAD
NACIONAL A DISTANCIA
ÁLGEBRA TRIGONOMÉTRICA Y GEOMETRÍA
BUCARAMANGA
SANTANDER
DICIEMBRE
2014
viernes, 26 de diciembre de 2014
INTRODUCCION
El
estudio de las funciones lineales y sus representaciones, tales como reglas y
tablas de datos incluyendo las nociones matemáticas de las variables
independientes y dependientes. Viendo uno de los grandes aportes a este tema
por el señor Euler.
La habilidad
del hombre para formular conceptos relacionados con la experiencia en
proposiciones abstractas, breves y concisas de este tipo, ha sido la base para
el desarrollo de una civilización fundada en la compresión de su medio
ambiente. Mucho de la matemática consiste en la formulación y desarrollo de
conceptos abstractos a partir de situaciones especificas que surgen en conexión
con el desarrollo de una estructura social y una civilización.
Una
función es una representación algebraica de un fenómeno social o natural; ésta
nos permite predecir el comportamiento de dicho fenómeno si alteramos alguna de
sus condiciones. Así, la función lineal se convierte en un concepto básico no
sólo para las Matemáticas sino para la investigación en general.
A
través de la función lineal se pueden analizar fenómenos como: la relación
entre el costo unitario de un producto y la cantidad que se puede comprar con
“x” cantidad de dinero; la distancia que recorre la luz en determinado tiempo;
el crecimiento de una población de moscas de la fruta, en condiciones óptimas,
en un tiempo dado; los intereses que se pagarán por un préstamo a plazos; etc.
La
función lineal es un elemento importante en muchas investigaciones, dado que
nos permite mantener una actitud científica frente al fenómeno que estudiamos,
y nos posibilita elaborar interpretaciones objetivas del mismo.
Ahora
bien, para que agilices la comprensión de este tema, te sugerimos verificar tus
conocimientos respecto a:
−
Lenguaje algebraico.
−
Operaciones con números reales.
− La
gráfica en el plano cartesiano de un sistema de ecuaciones.
Estos
conocimientos te permitirán interpretar la función lineal como un modelo
algebraico;
entender la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado con dos
incógnitas; e interpretar la gráfica de una función lineal.
OBJETIVOS
·
Conocer el concepto de función
·
Conocer los fundamentos de las funciones
lineales
·
Teorema de la ecuación lineal
·
Ecuación lineal
·
Aprender la terminología utilizada en las
funciones líneas
·
Practica con la tecnología desarrollar
funciones lineales
CONTENIDO
INTRODUCCION
OBJETIVOS
1.
INTRODUCCION
A LA FUNCION LINEAL (TEMA 40)
1.1.
Ejemplos
desarrollados en GeoGebra
1.2.
Ejercicios
desarrollados
1.3.
Ejercicios
y Actividades propuestas
1.4.
Aplicaciones
1.5.
Curiosidades
1.6.
Grandes
matemáticos y personalidades que aportaron conocimiento
1.7.
Video
tutorial y Videos referentes al tema
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFIA
INTRODUCCION
INTRODUCCION
A LA FUNCION LINEAL (TEMA 40)
QUE
ES UNA FUNCION?
En la definición de relación binaria, no se hizo restricción sobre
el número de elementos del rango que pueda corresponder a un elemento
particular del dominio. Sin embargo, un tipo muy importante de relación es
aquel donde no se permite una multiplicidad de valores correspondientes a un
elemento dado del dominio. se les da un nombre especial a las relaciones de
esta clase.
Una función es
una relación tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solamente
un elemento del rango.
De acuerdo con esta definición,
es obvio que toda función es una relación, pero no toda relación es una
función.
Hay
una notación especial importante para las funciones, que se usa para indicar el
elemento del dominio. Si f denota una función {( x, y)}, entonces el numero y asociado
con una x dada se designa por f(x), y se lee “f de x”. Con esa notación, el
conjunto de parejas que definen a f puede entonces escribirse como {(x, f(x))}.
FUNCION LINEAL
Es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta
función se puede escribir como:
donde m y b son
constantes reales y x es
una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de
corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces
se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b,
entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos
autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de
la forma:
GRAFICA
REPRESENTACIÓN
La
representación geométrica de la gráfica de una función, nos permite
identificar, según el trazo, algunas de sus características y propiedades, como
las siguientes:
−
Cuando la inclinación de la recta es hacia el eje positivo de las abscisas, la
constante de proporcionalidad “a” es positiva.
−
Cuando la inclinación de la recta es hacia el eje negativo de las abscisas, la
constante de proporcionalidad “a” es negativa.
− Es
posible obtener el valor de la constante de proporcionalidad “a” al trazar un
triángulo rectángulo y dividir la longitud del lado vertical entre la longitud
del lado horizontal.
− El
punto que intersecta la recta al eje de las ordenadas corresponde al valor de
“b”.
En
el plano cartesiano un punto cualquiera es la representación geométrica de un
par ordenado, y a cada par le corresponde un punto; por consiguiente, la
función se puede definir como un conjunto de pares ordenados, los cuales se
pueden representar geométricamente en el plano cartesiano para obtener su
gráfica. Por ello, la gráfica de una función es el conjunto de puntos del plano
que representan a los pares ordenados de la función, y la representación
geométrica constituye la línea recta donde se visualiza el comportamiento de la
función.
APLICACIONES
Problemas
simples
Las
funciones lineales describen fenómenos en los que intervienen magnitudes
directamente proporcionales.
La
representación gráfica será una recta cuya pendiente nos informa de la rapidez
de la variación de una magnitud con respecto a la otra y la ordenada en el
origen nos informa sobre las condiciones iniciales. En las imágenes de la derecha tienes un par
de ejemplos de cómo obtener la ecuación (de una función lineal o afín) a partir
de dos puntos conocidos
o a
partir de un punto y la pendiente y, a partir de ellas, hacer predicciones y
cálculos de situaciones desconocidas.
En
la descripción de fenómenos reales es frecuente que las magnitudes que se
relacionan vengan dadas por números de tamaños muy diferentes, por lo que al
representarlas gráficamente habrá que escoger unas escalas adecuadas en los
ejes correspondientes.
Problemas
combinados.
Donde
realmente resulta interesante la aplicación defunciones lineales es en el
estudio de varias funciones de manera simultánea de forma que podamos compararlas
con facilidad.
Debajo
tienes un ejemplo ilustrativo:
CURIOSIDADES
Nikki
Grazziano
Matemático y
fotógrafo que ha unido las matemáticas y las fotografías de la
naturaleza para enseñar las funciones matemáticas. Nikki ha
encontrado una forma de reunir sus dos intereses en una serie de imágenes llamada Found Functions,
(Funciones Encontradas) en las que superpone gráficas generadas mediante
fórmulas matemáticas a fotografías tomadas por ella. Pero por lo visto no busca
imágenes que puedan adaptarse a ciertas fórmulas, sino que cuando tiene una
fotografía que le gusta es cuando busca y ajusta la fórmula necesaria para
generar que la representación gráfica se adapte.
Una curiosa forma de aprender matemáticas y ver que todo se puede representar con ellas.
A continuación, te mostramos algunas de sus más famosas fotografías.
VUELOS
ESPACIALES (Función lineal-sistemas de ecuaciones lineales)
Existen
tres grandes tipos de sistemas que posibilitan la vida durante un vuelo
espacial.
Puede
ser no regenerativo, es decir que la regulación del almacenamiento se obtiene
por medios externos. Con la regeneración parcial, una parte de la materia es
circulada entre el astronauta y los dispositivos mecánicos. Por último, puede
producirse un curso cíclico de la materia, se trataría de una regeneración
total. El sistema no regenerativo de almacenamiento tiene los menores volumen y
costo para períodos breves de tiempo, pero el costo del peso por día de misión
espacial crece muy rápidamente. En teoría, la carga en peso de un sistema de
almacenamiento puede reducirse por completo regenerando algún oso todos los
elementos fisiológicos para los astronautas. En efecto, previendo una fuente de
energía, ya sea ésta la luz solar o un manantial eléctrico, y los materiales de
desecho bruto, se hace posible regenerar químicamente oxígeno y agua. Además,
juntando la materia excretada por el astronauta y una fuente de energía con
determinados organismos ( algas, bacterias y otros) pueden regenerarse gases
respiratorios y agua potable, y pueden cultivarse y cosecharse alimentos. A
medida que se añaden pasos regeneradores, el peso y el costo aumentan, pero la
proporción de aumento por día de viaje espacial disminuye con respecto a la del
equipo no regenerativo. Un sistema de soporte totalmente regenerador habrá de
ser grande y costoso, pero tendría siempre el mismo costo independientemente de
la duración de la misión.
El
siguiente gráfico representa los distintos tipos de sistemas, como varía el
costo del vuelo espacial en función del tiempo de duración del viaje:
Eje
de abscisas: tiempo
Eje
de ordenadas: peso (y costo) por individuo
PERSONAJE
LEONHARD PAUL EULER
Leonhard Paul
Euler (pron. AFI: [ˈɔʏlɐ] en alemán, AFI: [ˈoɨler] en español) (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo,Rusia, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal
matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos
de todos los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó
importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculoo
la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la
moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. Asimismo
se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.
Euler ha sido uno de los matemáticos
más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar
entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los
matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos
nosotros.»
En conmemoración suya, Euler ha
aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos,
así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.
Contribución a las matemáticas
Euler trabajó prácticamente en todos
los ámbitos de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría
lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, aportó de manera relevante a
la lógica matemática con su diagrama de conjuntos.
Ha sido uno de los matemáticos más
prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un
promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción,
entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra
completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de
sus trabajos, llamados Opera
Omnia, comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar
76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72
volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y
artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos,
muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y
80 volúmenes.Además, y según el matemático Hanspeter Kraft,
presidente de la Comisión
Euler de la Universidad de
Basilea, no se ha estudiado más de un 10 % de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Euler está
asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.
Se cree que fue el que
dio origen al pasatiempos Sudoku creando una serie de pautas para el cálculo de probabilidades.
CONCLUSIONES
Se
concluye con este trabajo la explicación del tema introducción a la función lineal,
donde encontramos los conceptos y la demostración de la ecuación Lineal, además
los ejemplos y ejercicios propuestos. También encontramos unos videos
tutoriales con la explicación de los ejercicios y funciones lineales, afin,
paralelas y perpendiculares.
REFERENCIAS
matemáticas universitarias 7ª edición tomo
I
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal
http://astrolabio.phipages.com/storage/.instance_30026/ASTROLABIO_12-2_art.8.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Matem%C3%A1ticos_importantes
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